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美國(guó)高中女生因數(shù)學(xué)競(jìng)賽，發(fā)現(xiàn)勾股定理新證明！論文已發(fā)《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》

新智元 整合編輯：太平洋科技 發(fā)布于：2024-11-05 15:46

兩年前，兩位高中在讀的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了全新的勾股定理證明方法。

遺憾的是，當(dāng)時(shí)并沒(méi)有更具體的論文，以提供實(shí)質(zhì)性細(xì)節(jié)。

就在最近，兩人的全新論文，在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上正式發(fā)表了！

論文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract

在這篇論文中，兩位作者找到了至少五個(gè)證明，與任何標(biāo)準(zhǔn)的已知證明都沒(méi)有明顯的相似。

陶哲軒對(duì)這項(xiàng)工作稱贊不已。

他表示，怎樣精確定義兩個(gè)證明是否相同，是很微妙的。

以往的數(shù)學(xué)家證明勾股定理，用的多是代數(shù)或幾何的方法。

然而這兩個(gè)學(xué)生，卻采用了一種「三角學(xué)」的方法。（作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，「三角學(xué)」主要研究的是三角形的變長(zhǎng)和角度之間的關(guān)系，尤其是直角三角形。）

具體來(lái)說(shuō)，她們采用了一種主要基于句法的方法：在她們看來(lái)，如果一個(gè)證明避免使用圓（或坐標(biāo)），但本質(zhì)上使用角度，就可以被視為「三角學(xué)」證明。

就這樣，她們找到了至少5個(gè)不同的證明，比如其中一個(gè)證明就涉及幾何級(jí)數(shù)求和。

Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson

所以，是否存在「語(yǔ)義」方式，來(lái)區(qū)別這些證明呢？

陶哲軒表示，理論上這種方式應(yīng)該是存在的，因?yàn)樵谀承W幾里得幾何的變種中，或許本文中的證明有的有效，有的無(wú)效，反之亦然。

但即使有沒(méi)有這種語(yǔ)義方式做區(qū)分，兩位學(xué)生的研究仍然非常引人入勝。

因?yàn)椤词故菙?shù)學(xué)中最古老、最基礎(chǔ)的結(jié)果，有時(shí)也可以找到全新的證明角度！

古老的勾股定理

勾股定理（亦稱畢達(dá)哥拉斯定理）是平面幾何中一個(gè)基本而重要的定理，也是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一：

平面上的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度（較短直角邊為勾長(zhǎng)、較長(zhǎng)直角邊為股長(zhǎng)）的平方和等于斜邊長(zhǎng)（弦長(zhǎng)）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長(zhǎng)的平方和等于第三邊邊長(zhǎng)的平方，則它是直角三角形（直角所對(duì)的邊是第三邊）。

勾股定理可考的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)證明，起源于歐幾里得《幾何原本》中卷一的命題47。

如今，已經(jīng)有了四百多個(gè)證明，諸如微分證明、面積證明等。

一道高中競(jìng)賽題，500美元獎(jiǎng)金

有趣的是，這項(xiàng)震驚數(shù)學(xué)圈的證明，催化劑竟是一道高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的附加題。

這道題要求找出一種全新的勾股定理證明方法（真是一個(gè)敢想，一個(gè)敢做）

因?yàn)橛?00美元獎(jiǎng)金，兩位學(xué)生決定嘗試一把。

結(jié)果兩人發(fā)現(xiàn)，這比想象的要困難得多……

她們度過(guò)了很多個(gè)不眠之夜，嘗試找到一個(gè)證明，卻屢屢失敗。

好在經(jīng)過(guò)一個(gè)月的腦力大爆炸后，兩人都找出了新的解法。

她們高中的數(shù)學(xué)志愿者Rich認(rèn)為，她們的證明足夠新穎，足以在數(shù)學(xué)會(huì)議上展示，因?yàn)橥ǔＶ挥袑I(yè)數(shù)學(xué)家和大學(xué)生才會(huì)受邀。

她們開(kāi)始并沒(méi)有信心，但還是決定參與。就是這時(shí)兩人開(kāi)始展開(kāi)合作。

接下來(lái)的兩三個(gè)月，兩人把課后、周末、假期的所有時(shí)間都用來(lái)打造這篇論文。

令人驚訝的是，兩位高中生的作品得到了認(rèn)真對(duì)待，并被批準(zhǔn)在2023年3月的美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)東南分會(huì)會(huì)議上展示——于是兩人成為房間里最年輕的演講者。

隨后，AMS鼓勵(lì)兩人把研究成果提交到學(xué)術(shù)期刊。

兩人從沒(méi)有為學(xué)術(shù)期刊寫論文的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)還在適應(yīng)大學(xué)環(huán)境，需要應(yīng)付小組論文、實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)分析、學(xué)習(xí)用LaTeX寫代碼等等任務(wù)。

兩人表示，在家人和社區(qū)的支持下，我們堅(jiān)持了下來(lái)，這段路途絕對(duì)不是簡(jiǎn)單的。

沒(méi)有現(xiàn)成的路線圖，沒(méi)人保證論文一定能發(fā)表。

有很多次，她們都想放棄這件事，好在最終，兩人堅(jiān)持了下來(lái)。

令人困惑的三角學(xué)

而在這次發(fā)表的研究中，兩位學(xué)生介紹道：在數(shù)學(xué)中，或許沒(méi)有哪個(gè)學(xué)科比三角學(xué)更讓高中生感到困惑了。

三角學(xué)為什么如此令人困惑？或許一個(gè)原因是，存在兩種不同的方法來(lái)定義相同的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)。

圖1倒是展示了這些方法是如何被協(xié)調(diào)的，但結(jié)果卻適得其反——

學(xué)生們或許不會(huì)意識(shí)到，這兩個(gè)互不相同的三角學(xué)體系，已經(jīng)被套在了相同的術(shù)語(yǔ)上，所以理解起來(lái)極其困難。

圖1：被作者稱為「數(shù)學(xué)中危害最大的圖」

兩位作者表示，避免混淆最合理的方法，就是給它們不同的名稱，來(lái)反映背后不同的理念。

實(shí)際上，這些方法中只有一種是三角學(xué)的，專注于這個(gè)真正的版本，就可以發(fā)現(xiàn)大量全新的勾股定理證明！

何為三角函數(shù)證明

「trigonometry」這個(gè)詞來(lái)源于希臘詞「trigonon」（三角形）和「metron」（測(cè)量），因此三角函數(shù)是通過(guò)測(cè)量三角形而得到的。

實(shí)際上，三角比中的正弦（sine）和余弦（cosine）定義為銳角��的函數(shù)，其方法是創(chuàng)建一個(gè)直角三角形ABC，使得��為其中一個(gè)銳角（如圖2左側(cè)所示），然后比較三邊中兩條邊的長(zhǎng)度關(guān)系。

sin��被定義為對(duì)邊BC與斜邊AB的比值，cos��則是鄰邊AC與斜邊AB的比值。

圖2：正弦和余弦的三角函數(shù)和圓周定義

然而，這種正弦和余弦的定義法僅適用于銳角，其他角度則需要完全不同的方法。

對(duì)于這些角度，就要使用單位圓，從點(diǎn)(1,0)開(kāi)始，逆時(shí)針?lè)较颍▽?duì)于負(fù)角則順時(shí)針）沿圓周移動(dòng)，直到達(dá)到所需的中心角��，最終到達(dá)點(diǎn)(��,��)，然后定義cos��=��和sin��=��。

對(duì)于銳角來(lái)說(shuō)，這來(lái)年各種方法得出的值是相同的，如圖1所示。

然而，只有第一種方法可以被合理地稱作「三角學(xué)」，第二種方法更適宜被叫做「圓周法」，源自希臘詞「circle」和「location」。（圖2）

它們的區(qū)別，意味著通過(guò)余弦定律證明畢達(dá)哥拉斯定理（我們從��²=��²+��²−2���� cos ��開(kāi)始，并令��為直角）是圓周證明而不是三角證明：因?yàn)槿菍W(xué)無(wú)法計(jì)算直角的余弦，而圓周測(cè)量告訴我們cos(90°)=0。

同樣地，使用cos(��−��)公式證明畢達(dá)哥拉斯定理（在恒等式cos(��−��)= cos �� cos ��+ sin �� sin ��中，令��=��）也是圓周法而非三角學(xué)，使用sin(��+��)公式的證明亦然，其中��和��為互余角。

另外，某個(gè)證明是否屬于三角學(xué)，也可以因其他原因被否認(rèn)。

例如，如圖3所示，畢達(dá)哥拉斯定理的最著名的證明之一，就使用了相似三角形△������∼△������∼△������：由于��/��=��/��和��/��=��/��，所以��=��+��=��²/��+��²/��，因此��²+��²=��²。

圖3：通過(guò)相似三角形的證明

但這個(gè)證明很容易被改寫為三角學(xué)。

由于��/��=��/��= sin ��，因此有��=�� sin ��=(�� sin ��) sin ��=�� sin² ��，同樣地，��=�� cos² ��。

然后��=��+��=�� (sin² ��+ cos² ��)，由此得1= sin² ��+ cos² ��=(��/��)²+(��/��)²，因此��²+��²=��²。

但是，在這里使用三角術(shù)語(yǔ)并沒(méi)有增加任何實(shí)質(zhì)內(nèi)容——實(shí)際上只是復(fù)雜化了對(duì)同一方法的簡(jiǎn)單視角，因此可以說(shuō)，這個(gè)證明使用了相似三角形而不是三角學(xué)。

更一般地，任何證明��²+��²=��²的方法，都可以通過(guò)�� sin ��為a和�� cos ��為b（或通過(guò)將邊長(zhǎng)a, b和c重新縮放為 sin ��,  cos ��和1）來(lái)重新表述為「三角」證明：首先證明 sin² ��+ cos² ��=1，然后通過(guò)反向替換 sin ��=��/��和 cos ��=��/��來(lái)證明��²+��²=��²。

這種現(xiàn)象表明，這種迂回的畢達(dá)哥拉斯定理的「三角」證明值得被懷疑（即首先證明恒等式 sin² ��+ cos² ��=1），不然，「三角學(xué)」就僅僅是用正弦和余弦對(duì)邊長(zhǎng)的重復(fù)敘述罷了。

兩位作者表示，事實(shí)上，她們也不知道如何在畢達(dá)哥拉斯定理的「三角」證明和非三角證明之間劃清界限。

但根據(jù)設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)，就可以有一個(gè)起點(diǎn)，按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，兩個(gè)畢達(dá)哥拉斯定理的證明可以算作三角函數(shù)的證明。

第一個(gè)證明來(lái)自J. Zimba，使用了復(fù)角公式的代數(shù)性質(zhì)，證明了對(duì)任意銳角��，都有 sin ²�� + cos²�� = 1。

另一個(gè)證明來(lái)自N. Luzia，他使用了復(fù)角公式和半角公式，證明了對(duì)于任意銳角��，都有 sin²(��/2) + cos²(��/2) = 1。

注意，當(dāng)角度��/2為45°時(shí)，Luzia的方法在等腰直角三角形上不成立，但在45°<��/2<90°時(shí)有效，因?yàn)榇藭r(shí)sin²(��/2) + cos²(��/2) = cos²(90°−��/2) + sin²(90°−��/2) = 1。

勾股定理的五個(gè)新證明

至此，兩位學(xué)生就證明了對(duì)于等腰直角三角形的勾股定理，由此開(kāi)始了勾股定理的五個(gè)新證明。

在以下五個(gè)證明中的前四個(gè)中，她們假設(shè)ABC是一個(gè)非等腰直角三角形，其中��<��，或者��<45°<��。

每個(gè)證明都從一個(gè)直角三角形的圖形開(kāi)始。

證明1

證明2

證明3

證明4

證明5

方法

在任何創(chuàng)造性活動(dòng)中，一個(gè)基本問(wèn)題是：「我能用現(xiàn)有的東西創(chuàng)造出什么？」

在勾股定理中，這個(gè)問(wèn)題就變成了：「我能用給定的直角三角形ABC，創(chuàng)造出什么樣的直角三角形？」

為此，作者將新三角形的創(chuàng)建限制在一個(gè)條件下：其角度是△������的三個(gè)角��、��和90°（=��+��）的整數(shù)和/或差。

這樣一來(lái)，問(wèn)題的答案就簡(jiǎn)單了。

引理1：

如果ABC是一個(gè)等腰直角三角形（��=��=45），那么唯一的角度為��和��的整數(shù)線性組合的三角形是等腰直角三角形。

在直角三角形ABC中，如果�� < ��，則存在一個(gè)直角三角形，其銳角為2⁢��和��−��。此外，2⁢��和��−��是��和��的唯一整數(shù)線性組合，它們將形成每對(duì){��,��}的直角三角形的銳角。

證明：

a. 由于等腰直角三角形ABC的所有角度都是45的倍數(shù)，因此任何新三角形（其角度限制為△������的角度的和/或差）的所有角度仍然是45的倍數(shù)，因此這個(gè)三角形必須是等腰直角三角形。

換句話說(shuō)，如果我們從一個(gè)等腰直角三角形開(kāi)始，不可能創(chuàng)造出一個(gè)新三角形。

b. 現(xiàn)在假設(shè)�� < ��。

如果新構(gòu)建的直角三角形的一個(gè)銳角為���� + ����（��,��∈ℤ），那么它的補(bǔ)角為90 – (���� + ����) =(��+��)–(���� + ����) = (1−��)⁢�� + (1−��)⁢��。

如果整數(shù)n和1−��都不為零，且其中一個(gè)（比如n）是負(fù)的，那么用⏧��⏧替換n，我們看到其中一個(gè)角度為���� – ����，其中m>n>0。

但是當(dāng)��為90⁢��/(��+��)度時(shí)，它的補(bǔ)角��為90⁢��/(��+��)，這種構(gòu)造給我們一個(gè)角度為���� – ���� = ��⁢90⁢��/(��+��) – ��⁢90⁢��/(��+��)=0的三角形。

這種不可能性表明必須有��=0，因此其中一個(gè)銳角測(cè)量為����，對(duì)于某個(gè)��∈ℕ。

如果��=1，那么我們簡(jiǎn)單地恢復(fù)了原來(lái)的三角形ABC。

如果��=2，那么我們得到一個(gè)新的直角三角形，其銳角測(cè)量為2⁢��和�� – ��。（注意2⁢��<90，因?yàn)?#55349;�<45。）

最后，我們看到��≥3是不可能的，因?yàn)槿绻?0≤��<45，則不存在這樣的三角形。

這項(xiàng)引理準(zhǔn)確地指引我們尋找勾股定理的證明（對(duì)于非等腰直角三角形）：從原來(lái)的三角形ABC開(kāi)始，我們嘗試以盡可能多的方式創(chuàng)造一個(gè)新的直角三角形，其角度為2��，�� – ��和90度。

例如，創(chuàng)造一個(gè)2��角的顯而易見(jiàn)的方法是將兩個(gè)△������結(jié)合在一起，如圖13所示。

圖13：創(chuàng)造一個(gè)2⁢��角

這樣就創(chuàng)建了一個(gè)等腰三角形������′，其角度分別為2��、��和��，因此下一步是將其中一個(gè)��角轉(zhuǎn)化為�� – ��或90度（圖13）。

為了在頂點(diǎn)��′形成一個(gè)90度的角，我們構(gòu)造了一條與��⁢��′成��角的射線。延長(zhǎng)邊AB至與射線在點(diǎn)D相交，就得到了第一個(gè)證明的圖形（圖14）。

圖14：創(chuàng)建第一個(gè)證明

或者，如果我們?cè)谛边匒B的另一側(cè)構(gòu)造一個(gè)2⁢��角，并延長(zhǎng)BC至與新射線在點(diǎn)D相交，如下所示，就得到了直接指向第二個(gè)證明的圖形（圖15）。

圖15：創(chuàng)建第二個(gè)證明

這種簡(jiǎn)單的方法產(chǎn)生了多個(gè)新的證明，其中五個(gè)如上圖所示，而另外五個(gè)或者更多證明方法，可以留待讀者去發(fā)現(xiàn)。

參考資料：

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959

本文來(lái)源：新智元

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